Pendant ses cours de sup, JPB nous avait introduit diverses sources d’inspiration, et donné l’exemple de ce mathématicien indien qui disait être inspiré par des divinités pendant son sommeil. Je n’ai pas cette chance, alors à défaut je me satisfais de méthodes plus terre-à-terre comme des heuristiques.
Une jolie illustration existe en maths, et exploite une anologie entre le monde des fonctions réelles et celui des suites numériques. Les outils mathématiques qui existent dans l’un des mondes mais a priori pas dans l’autre peuvent alors parfois faire l’aller-retour. M. Chillès donne sur son site et pendant ses cours au lycée du Parc quelques exemples bien expliqués et très formateurs.
Ce tableau résumerait cette analogie entre mondes discret (indicé par des entiers) et continu (indicé par des réels):
| Continu | Discret |
| [tex]x[/tex] | [tex]n[/tex] |
| [tex]f(x)[/tex] | [tex]u_n[/tex] |
| [tex]f’(x)[/tex] | [tex]u_n-u_{n-1}[/tex] |
| [tex]\int_x f(t)\rm\, dt[/tex] | [tex]\sum_iu_i[/tex] |
La grande beauté de cette analogie est qu’elle permet de résoudre de manière assez intuitive des problèmes qui, abordés autrement, nécessiteraient de faire sortir un bien gros lapin de son chapeau (ou de son Bréal, dirait JPB avec un mépris bien légitime pour cette démarche).
Qui n’a pas, par pur désoeuvrement, pressé récursivement sur la touche "sin" de sa calculette pendant ses tendres années de collège ? Voyons-voir comment l’analogie discret-continu permet de nous indiquer où ces pressions à répétition peuvent bien nous mener.
Les nombres successifs qui s’affichent suvient la suite de terme général [tex]u_{n+1}=\sin(u_n)[/tex]. La suite [tex]u_n[/tex] tend vers 0, un graphique en donne l’idée, ce qui est après tout naturel pour une suite décroissante ([tex]sin(x)<x[/tex] sur [tex]x>0[/tex]) et majorée (par -1).
Mais, à quelle vitesse tend-elle vers 0 ? On pourrait commencer à développer [tex]u_n[/tex] au voisinage de l’infini (puisqu’on sait que la suite tend vers 0), pour essayer de dégager [tex]u_n[/tex]:
[tex]u_{n+1}=u_n-\frac{{u_n}^3}{6}+o({u_n}^3)[/tex]
On voit bien qu’on a un résultat intermédiaire, mais difficile d’en faire quoi que ce soit de vraiment intéressant.
De retour à l’analogie entre discret et continu, on écrit cette égalité
[tex]u_{n+1}-u_n=-\frac{{u_n}^3}{6}+o({u_n}^3)[/tex]
Autant l’équation est peu parlante dans le monde discret, autant elle devient plus commune dans le monde continu. On reconnait d’après le tableau plus haut l’équation différentielle [tex]f’=-\frac{{f}^3}{6}[/tex], qu’on intègre en
[tex]\left(\frac{1}{f^2}\right)’ = \frac{1}{3}[/tex]
Ce qu’on pourrait exprimer en
en dérivant [tex]\frac{1}{f^2}[/tex], on tombe sur une constante
En toute candeur, on s’attendrait donc à tomber sur une constante en dérivant [tex]\frac{1}{{u_n}^2}[/tex].
Séduisant, non ? On pose donc [tex]v_n=\frac{1}{u_n^2}[/tex], qu’on se propose de dériver. Qu’aura-t-on gagné ? En intégrant de nouveau, on aura une forme bien plus simple de [tex]v_n[/tex] (intégrer une constante, que ce soit en discret ou en continu, est une opération somme toute assez plaisante…) et donc de [tex]u_n[/tex].
Dérivons, donc :
[tex]v_n-v_{n-1} = \frac{1}{{u_n}^2}-\frac{1}{{u_{n-1}}^2}[/tex]
[tex] = \frac{1}{{u_{n-1}}^2 \left( 1 – \frac{{u_{n-1}}^2}{6} + o\left({u_{n-1}}^2\right)\right)^2} – \frac{1}{{u_{n-1}}^2}[/tex]
[tex]= \frac{1}{3} + o(1)[/tex]
La série de terme général [tex] \frac{1}{3}[/tex] diverge et est de signe constant, les termes principaux sont donc équivalents et on peut "intégrer" (sommer) au voisinage de l’infini :
[tex]v_n = \frac{n}{3} + o(n)[/tex]
et donc
[tex]u_n \sim \sqrt{\frac{3}{n}}[/tex]
Le plus troublant ? On retrouve le même coefficient [tex]\frac{1}{3}[/tex] !
Retour à la calculette : quand on a commencé à bien user sa touche sin, la nième fois qu’on presse dessus le résultat qui s’affiche est proche de [tex]\sqrt{\frac{3}{n}}[/tex].
Dans une perspective plus large, cet exemple relativement simple illustre l’une des heuristiques les plus jolies que j’aurai eu l’occasion de croiser.